本指南使用与游戏中略有不同的 λ 演算语法：将游戏中的“变量 :”替换为“λ 变量 .”。

1、2、3、ZERO、MUL、PRE 等记号与游戏第 5 章“数字”引入的同名记号含义相同。

记号“:=”表示将其右侧的表达式作为左侧记号的定义；“=>”表示其左侧的表达式可规约为其右侧的表达式。

仿照一般编程语言，可以写出“递归”的阶乘函数：
但 λ 演算中实际上并没有声明、定义一个符号的操作，诸如 ZERO、1 等记号只是一种类似 C 语言中宏的语法糖，所以无法这样实现递归函数。

为了在函数中调用自己，它需要有个名字。我们可以给它增加一个参数表示函数本身，这样就可以用参数名代替函数名，递归调用自己了：
调用该函数时，要像这样：

但是这太丑了，在调用时要写两遍函数名，函数体内也要写两个 f。但是，理想中的写法
传入参数的个数不正确，根本是算不出预期结果的。由此想到，是否可以用某个高阶函数 Y “修饰”一下 FACTO，让 Y FACTO 变成一个递归函数呢？

在之前定义的函数 FACTO_2 中，通过将函数自身传递给自身作为参数，实现了递归的功能。FACTO 与 FACTO_2 的唯一不同，即是将定义中的两个 f 替换成了一个 f。利用高阶函数 Y，将传递给 FACTO 的第一个参数 f 变成两个 FACTO，能否正确地实现递归呢？令
计算 3 的阶乘：
从中发现，随着“递归”的进行，FACTO 的第一个参数 f 变得越来越“短”：只要 f 是有限个 FACTO，这样的“递归”总会在充分大的次数后停止。因此，f 应该能够自我复制，这样无论进行多少次规约，总还有新的 f 被传入 FACTO。

考虑函数
则
t 具有自己复制自己的功能。仿照这个例子，要让 f 能够自我复制，它应该像这样被调用：
因为 f 与 FACTO 有关，所以 f 是某个高阶函数 g 对 FACTO 进行修饰后的结果，也就是 f = g FACTO。将上式的 f 做替换可得：
写到这里，实际上我们已经找到了 g。如果你没有注意到，直接把 g 的定义写出来就非常显然了：

根据 g 的定义，我们可以写出 Y，一个接受“递归”函数 r 做参数的高阶函数。Y 的作用是将我们找到的自复制函数 f f，也就是 g r (g r) 作为参数传递给 r：
利用 g 的定义，可以写出等价的定义：
再对这个式子中的两个 g r 各规约一步，即可得到我们最熟知的 Y 组合子的形式：

感谢这款游戏，让我读了一些文章，并将以上能说服我自己的 Y 组合子发现过程整理下来。

但我对这款游戏的评价不变。如果不是游戏对 Y 组合子的引入如此突兀，为什么会有这篇指南呢。